题目

设函数,其中.
(1)当时，求在曲线上一点处的切线方程；
(2)求函数的极值点。

答案

（1）
（2）时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时, 函数在上无极值点

解析

试题分析：解：（I）当，， 1分
，2分
在点处的切线斜率， 3分
∴所求的切线方程为： 4分
(II) 函数的定义域为.
6分
（1）当时，，
即当时, 函数在上无极值点； 7分
（2）当时，解得两个不同解，. 8分
当时，，，
此时在上小于0，在上大于0
即在上有唯一的极小值点. 10分 
当时，在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点. 12分
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时, 函数在上无极值点 14分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的应用，解决切线方程以及极值问题，属于基础题。