题目

设是函数的一个极值点。
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围。

答案

（1）；
①当时，单增区间为：；单减区间为：、；
②当时，单增区间为：；单减区间为：、；
（2）的取值范围为。

解析

试题分析：（1）∵ ∴
  2分
由题意得：，即，  3分
∴且
令得，
∵是函数的一个极值点
∴，即
故与的关系式  5分
①当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：、；
②当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：、；  8分
（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，
∴在上的值域为 10分
易知在上是增函数
∴在上的值域为  12分
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必须且只须解得： 
所以：的取值范围为  14分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。