在自然条件下,某草原上野兔第n年年初的数量记为xn 难度:一般 题型:解答题 来源:不详 2023-11-17 22:00:02 题目 在自然条件下,某草原上野兔第n年年初的数量记为xn,该年的增长量yn和 xn与的乘积成正比,比例系数为,其中m是与n无关的常数,且x1<m,(1)证明:; (2)用 xn表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m. 答案 (1)详见解析;(2),证明用数学归纳法,过程详见解析. 解析 试题分析:(1)由已知可得yn是xn的一个二次函数,利用配方法,注意到就可证明;(2)由已知有该年的增长量,所以第n+1年年初的的数量xn+1=xn+yn,代入即可用 xn表示xn+1;证明草原上的野兔总数量恒小于m,即证对一切非零自然数n,都有xn<m,可考虑用数学归纳法来证明:当n=1时显然成立;再假设当时,命题成立,则对n=k+1时,由于是xk的一个二次函数,结合二次函数的性质,可证成立,从而有对一切正整数n,,即是草原上的野兔总数量恒小于m.试题解析:(1)由题意知 ,配方得: ∵∴当且仅当时,取得最大值,即(5分) (2)(8分)用数列归纳法证明:当n=1时,由题意知,故命题成立假设当时,命题成立是xk的一个二次函数,有对称轴,开口向下,由,则,于是在上均有=m取,即知,∴当时,命题成立,综上知,对一切正整数n,这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长(13分) 相关题目 (本题满分12分)已知二次函数满足,且,图 函数y=x2-2x在区间[a,b]上的值域是[-1 若对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+( (本题满分14分)已知二次函数,且满足.(1 已知函数.若则的最大值为 (本小题满分12分)设二次函数,函数的两 函数的最小值为,则等于 ( )A.2B. 设二次函数的图象与x轴的左右两个 已知一次函数满足:对任意的,有成立,则 若对任意的,恒成立,则的取值范围是 闽ICP备2021017268号-8