题目

已知函数，。
（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x = x₀处的切线斜率总想等，求x₀的值；
（2）若a > 0，对任意x > 0不等式恒成立，求实数a的取值范围。

答案

（1）a-1（2）

解析

试题分析：解：(Ⅰ)恒成立，恒成立即.
方法一：恒成立，则
而当时，
则，，在单调递增，
当，， 在单调递减，
则，符合题意.
即恒成立，实数的取值范围为；
方法二：，
(1)当时，，，，在单调递减，
当，，在单调递增，
则，不符题意；
(2)当时，，
①若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，矛盾，不符题意；
②若，
（Ⅰ）若，；；
，在单调递减，在单调递增，在单调递减，不符合题意；
（Ⅱ）若时，，，在单调递减，，不符合题意.
（Ⅲ）若，，，，，，，， 在单调递减，在单调递增，在单调递减，，与已知矛盾不符题意.
（Ⅳ）若，，，，在单调递增；
当，， 在单调递减，
则，符合题意；
综上，得恒成立，实数的取值范围为
(Ⅱ) 由(I)知，当时，有，；于是有 ，.
则当时，有
在上式中，用代换，可得
相乘得
点评：解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性，以及函数的最值，进而证明不等式，属于基础题。