题目

设函数有两个极值点,且.
(1)求实数的取值范围；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

答案

(1)
(2) ①当时,,即在区间上单调递增；
②当时,,即在区间上单调递减；
③当时,,即在区间上单调递增
(3)

解析

试题分析：解:(1)由可得.
令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得. 5分
(2)由(1)可知,其中,故
①当时,,即在区间上单调递增；
②当时,,即在区间上单调递减；
③当时,,即在区间上单调递增. 9分
(3)由(2)可知在区间上的最小值为.
又由于,因此.又由可得,从而.
设,其中,
则.
由知:,,故,故在上单调递增.
所以,.
所以,实数的取值范围为. 14分
(事实上,当时,,此时.即,“”是其充要条件.)
点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定，以及运用导数的知识来求解最值，属于中档题。